Théorème de la base incomplète

Enoncé

Théorème de la base incomplète :
Soit $E$ une famille de dimension finie et $E\neq\{0_E\}$
Soit $\mathcal F=\{u_1,\ldots,u_p\}$ un système libre
Soit $\mathcal G=\{v_1,\ldots,v_q\}$ un système générateur de $E$
Alors...

$p\leqslant q$
Si $\mathcal F$ est une base de $E$, alors il existe $r$ vecteurs $v_{i_1},\ldots,v_{i_r}$ tels que $B=\{u_1,\ldots,u_p,v_{i_1},\ldots,v_{i_r}\}$ est une base de $E$ (avec $r\leqslant q-p$)

(Famille génératrice, Famille libre - Famille linéairement indépendante, Base (algèbre linéaire))
Théorème de la base incomplète :

$E$ est une famille de dimension $1\leqslant d\lt +\infty$
${\mathcal F}=\{u_1,\dots,u_p\}$ est un système libre dans $E$
$\mathcal G=\{v_1,\dots,v_q\}$ est un système générateur de $E$

$$\Huge\implies$$

$p\leqslant q$
si $\mathcal F$ est une base de $E$, alors il existe $r$ vecteurs $v_{i_1},\ldots,v_{i_r}$ tels que $B=\{u_1,\ldots,u_p,v_{i_1},\ldots,v_{i_r}\}$ est une base de $E$
$r\leqslant q-p$

END

Démonstration

Soit $E$ un ${\Bbb R}$-espace vectoriel de dimension finie. Démontrer que si ${\mathcal F}=\{u_1,\ldots,u_p\}$ est une famille libre de $E$ et si $\mathcal G=\{v_1,\ldots,v_q\}$ est une famille génératrice de $E$, alors $p\leqslant q$
(théorème de la base incomplète)

$\mathcal G$ génératrice $\Rightarrow$ $\alpha_1\neq0$
$\mathcal G$ est génératrice $\Rightarrow$ $\exists \alpha_1,\ldots,\alpha_q\in{\Bbb R}$ tq $u_1=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_qv_q$ avec au moins un des $\alpha_i$ non nul (car sinon ${\mathcal F}$ n'est pas libre). On considérera quitte à changer l'indexation que $\alpha_1\neq0$

Bidouiller $\operatorname{Vect}(u_1,v_2,v_3,\ldots,v_q)$ avec les méthodes de Gauss pour retrouver $E$
On a donc : $$\begin{align}\operatorname{Vect}(u_1,v_2,v_3,\ldots,v_q)&=\operatorname{Vect}\left( u_1-\sum^q_{j=2}\alpha_jv_j,v_2,v_3,\ldots,v_q\right)\\ &=\operatorname{Vect}(\alpha_1v_1,v_2,v_3,\ldots,v_q)\\ &=\operatorname{Vect}(v_1,v_2,v_3,\ldots,v_q)\\ &=E\end{align}$$

Montrer par l'absurder que $\lnot(\beta_2=\cdots=\beta_q=0)$ en utilisant le fait que ${\mathcal F}$ est libre
Ainsi $\mathcal G_1=\operatorname{Vect}(u_1,v_2,v_3,\ldots,v_q)$ est génératrice de $E$. Donc $\exists\beta_1,\ldots\beta_q\in{\Bbb R}$ tq $u_2=\beta_1u_1+\beta_2v_2+\cdots+\beta_qv_q$. Si $\beta_2=\cdots=\beta_q=0$, alors $u_2=\beta_1u_1$, ce qui contredit le fait que ${\mathcal F}$ est libre. Donc il existe $j\in\{2,\ldots,q\}$ tq $\beta_j\neq0$

Comme précédemment, bidouiller $\operatorname{Vect}(u_1,u_2,v_3\ldots,v_q)$ pour retrouver $E$
On procède comme précédemment : quitte à changer l'indexation, on suppose que $\beta_2\neq0$, et on a : $$\begin{align}\mathcal G_2=\operatorname{Vect}(u_1,u_2,v_3\ldots,v_q)&=\operatorname{Vect}\left( u_1,u_2-\beta_1u_1-\sum^q_{j=3}\beta_jv_j,v_3,\ldots,v_q\right)\\ &=\operatorname{Vect}(u_1,\beta_2v_2,v_3,\ldots,v_q)\\ &=\operatorname{Vect}(u_1,v_2,v_3,\ldots,v_q)\\ &=E\end{align}$$

Conclure par l'absurde en réitérant le procédé et en se servant du fait que ${\mathcal F}$ est libre

Supposons que $p\gt q$. En réitérant le procédé $q$ fois, on obtient que $\mathcal G_q=\{u_1,u_2,\ldots,u_q\}$ est génératrice de $E$ et, en considérant le vecteur $u_{q+1}$, on obtient une contradiction avec le fait que ${\mathcal F}$ est libre et donc $u_{q+1}\notin\operatorname{Vect}(u_1,u_2,\ldots,u_q)$. Donc $p\leqslant q$

(Famille génératrice, Famille libre - Famille linéairement indépendante, Opération élémentaire sur une liste de vecteurs, Raisonnement par l'absurde)

Conséquences

Corollaire du théorème de la base incomplète :
Toute base $\mathcal B=\{u_1,u_2,\ldots,u_n\}$ d'un espace vectoriel de dimension finie a le même nombre d'éléments
Ce nombre s'appelle la Dimension de $E$ $$n=\operatorname{dim}E$$
Preuve : ^[$$\begin{align}&\text{soit }\mathcal B'=\{v_1,\ldots,v_m\}\text{ une autre base de }E\\ &\begin{cases}\mathcal B'\text{ est une famille libre}\implies m\leqslant n\\ \mathcal B'\text{ est une famille génératrice}\implies n\leqslant l=m\end{cases}\implies m=n \end{align}$$]
Corollaire :
Tout espace vectoriel de dimension finie possède une Base (algèbre linéaire)
Démonstration : ^[$$\begin{align}&E=\operatorname{Vect}(v_1,\ldots,v_q)\neq\{0_E\}\\ &\text{donc }v_i\neq0\implies \{v_i\}\text{ est libre}\\ &\text{on peut compléter }\{v_i\}\text{ à une base}\end{align}$$]
Corollaire :
Soit $\mathcal B=\{u_1,\ldots,u_n\}$ une base de $E$

pour toute famille libre, $\mathcal F=\{v_1,\ldots,v_p\}$ avec $p\leqslant n$
pour toute famille génératrice $\mathcal G=\{v_1,\ldots,v_q\}$ avec $q\geqslant n$

Math'φsics

Formulaire de report

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